Definiciones i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F ![]() ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento F’F se llaman: Ejes de simetría de la hipérbola. iii. El punto de intersección 0 de dos ejes de simetría, se llama CENTRO de la hipérbola. Los puntos A y A’ se llaman: VERTICES de la hipérbola. Observaciones: i. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una hipérbola. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente, aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x ó eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.3.1.). ii. Si ![]() ![]() iii. Note que 2a < 2c, ya que la diferencia de los lados de un triángulo siempre es menor que el tercer lado. Además, se toma ![]() 6.3.1. Ecuaciones Analíticas de la Hipérbola caso 1. Hipérbola con focos F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0. TEOREMA: La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0) viene dada por: ![]() Demostración: Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada (fig. 6.3.1.), se tiene de acuerdo a la definición i. que: ![]() ![]() De donde, ![]() ![]() Es decir, ![]() Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir: ![]() Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene: Caso 2. Hipérbola con focos en F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0. TEOREMA: La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F’(0, -c) y F(0, c) viene dada por: ![]()
La demostración es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio. Caso 3. (Caso General) Si en vez de considerar el centro de la hipérbola en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hipérbola correspondiente, se transformarán utilizando las ecuaciones de traslación (sección 6.1.2.) en: ![]() ![]() Según que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente. Observaciones: i. En la figura 6.3.3., se ha trazado la hipérbola centrada en el origen y focos en los puntos F1(c,0) y F2(-c, 0). Los puntos V1 y V2 son los vértices de la hipérbola y sus coordenadas son V1(a, 0) y V2(-a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen coordenadas: M (a, b), N(-a, b), P(-a, -b) y Q(a, -b). El rectángulo MNPQ recibe el nombre de rectángulo auxiliar de la hipérbola.
ii. La gráfica de la hipérbola es simétrica con respecto al eje x y con respecto al eje y. iii. Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asíntotas oblicuas de la hipérbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por: ![]() ![]() Una forma "nemotécnica" de obtener las ecuaciones de las los asíntotas de la hipérbola es la siguiente: En la ecuación de la hipérbola, sustituir el 1 (uno) del segundo miembro por un 0 (cero). Así, en el caso particular de la hipérbola ![]() Hacemos: ![]() ![]() iv. En el caso particular, cuando a = b, las ecuaciones de la hipérbola se transforman en: ![]() ![]() En ambos, la hipérbola se llama: Hipérbola Equilátera y tienen como asíntotas las rectas y = x e y = -x ![]() Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de simplificar y factorizar se puede escribir: ![]() Recordando además que ![]() ![]() ![]() Hipérbola:La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante. ![]() ![]() Componentes de la hipérbolaFocos Son los puntos fijos F y F'. Eje focal Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario o imaginario Es la mediatriz del segmento ![]() Centro Es el punto de intersección de los ejes. Vértices Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'. Distancia focal Es el segmento ![]() Eje mayor Es el segmento ![]() Eje menor Es el segmento ![]() Ejes de simetría Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario. Asíntotas Son las rectas de ecuaciones: ![]() Relación entre los semiejes ![]() |
HIPERBOLA
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